[Перевод] Какая связь между голосованием и бутылкой Клейна

29 окт 2026

С математической точки зрения демократия практически невозможна.Это может прозвучать как тема шестичасового подкаста какого‑нибудь миллиардера из Кремниевой долины, но на самом деле речь идёт об удивительно трудноразрешимой проблеме: как преобразовать индивидуальные предпочтения группы людей в единое коллективное решение?В 1785 году французский математик и философ Никола де Кондорсе обнаружил, что большинство иногда может в результате голосования попасть в логический замкнутый круг. На выборах с тремя или более кандидатами каждый избиратель может расположить кандидатов в совершенно ясном и последовательном порядке предпочтения, однако после подсчёта всех голосов окажется, что каждый кандидат проигрывает одному из соперников при попарном сравнении. Изменение правил помогает лишь до определённого предела. Как позднее доказал экономист Кеннет Эрроу, любой способ объединения индивидуальных предпочтений в общий порядок должен нарушать хотя бы одно из демократических требований, которые на первый взгляд кажутся вполне разумными.Теперь трое исследователей показали, что парадокс Кондорсе, которому уже 240 лет, имеет геометрическую форму, причём весьма необычную: бутылку Клейна, поверхность, у которой нет отдельных внутренней и внешней сторон. Этот результат даёт математикам геометрический инструмент для исследования того, почему, казалось бы, разумные правила коллективного принятия решений могут оказаться несовместимыми друг с другом. Читать далее